Au programme de ce chapitre
- I. Les trois produits remarquables
- II. Factoriser par mise en évidence
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Factoriser, c'est transformer une somme en produit (c'est l'inverse de développer). La mise en évidence consiste à repérer un facteur commun à tous les termes et à l'écrire devant une parenthèse : ka + kb = k(a + b).
Un exemple corrigé
Exemple
- (x + 5)² = x² + 10x + 25
- (x + 7)(x − 7) = x² − 49
- (2y + 1)² = 4y² + 4y + 1
Extrait du cours
Certains produits reviennent si souvent qu'on apprend leur développement par cœur : ce sont les produits remarquables. Ils permettent aussi du calcul mental rapide, par exemple 99 × 101 = 9 999.
Lexique
- produit remarquable
- produit dont le développement suit une formule connue
- double produit
- le terme 2ab dans (a + b)² ou (a − b)²
- factoriser
- écrire une somme sous forme de produit
- mise en évidence
- sortir un facteur commun devant une parenthèse
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — oublier le double produit. (a + b)2 n'est pas a2 + b2. Test : (3 + 4)2 = 49, alors que 32 + 42 = 25.
Piège — laisser disparaitre un terme en factorisant. Quand on met en évidence un facteur égal à un terme, il reste 1 dans la parenthèse : 5x + 5 = 5(x + 1) et 4x2 − 4x = 4x(x − 1). Écrire 5(x) ou 4x(x) est faux.
Attention (a + b)² n'est pas égal à a² + b² : il manque le double produit 2ab. Contrôle avec des nombres : (3 + 4)² = 7² = 49, alors que 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
L'astuce du prof
Astuce Calcul mental : 51² = (50 + 1)² = 2 500 + 100 + 1 = 2 601 ; 99 × 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 10 000 − 1 = 9 999.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un carré d'une somme
Développe (x + 6)2.
Voir la correction
Le carré du 1er terme est x2, le double produit vaut 2 × x × 6 = 12x et le carré du 2e terme vaut 36. Donc (x + 6)2 = x2 + 12x + 36.
Exercice 2 — Deux développements
Développe a) (5a − 2)2 ; b) (3x + 4)(3x − 4).
Voir la correction
a) (5a)2 − 2 × 5a × 2 + 22 = 25a2 − 20a + 4. b) Somme fois différence : (3x)2 − 42 = 9x2 − 16.