Au programme de ce chapitre
- I. La famille des quadrilatères
- II. Reconnaitre un quadrilatère
- III. Démontrer
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition
- Un trapèze a au moins deux côtés parallèles.
- Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles deux à deux.
- Un rectangle a quatre angles droits.
- Un losange a quatre côtés de même longueur.
- Un carré est à la fois un rectangle et un losange.
Un exemple corrigé
Exemple Hypothèse : ABCD est un parallélogramme et  = 70°.
Thèse : calculer B̂, Ĉ et D̂.
Démonstration : dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires, donc B̂ = 180° − 70° = 110°. Les angles opposés ont la même amplitude : Ĉ = Â = 70° et D̂ = B̂ = 110°. Contrôle : 70 + 110 + 70 + 110 = 360°.
Thèse : calculer B̂, Ĉ et D̂.
Démonstration : dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires, donc B̂ = 180° − 70° = 110°. Les angles opposés ont la même amplitude : Ĉ = Â = 70° et D̂ = B̂ = 110°. Contrôle : 70 + 110 + 70 + 110 = 360°.
Lexique
- parallélogramme
- quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux
- angles supplémentaires
- angles dont la somme des amplitudes vaut 180°
- diagonale
- segment qui joint deux sommets non consécutifs
- cerf-volant
- quadrilatère formé de deux paires de côtés consécutifs de même longueur
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — une seule propriété des diagonales ne suffit pas. Des diagonales perpendiculaires ne prouvent pas un losange (cerf-volant), des diagonales de même longueur ne prouvent pas un rectangle (trapèze isocèle). Il faut aussi qu'elles se coupent en leur milieu.
Piège — justifier avec le dessin. « On voit que les côtés sont parallèles » n'est pas une justification. Un dessin peut tromper : appuie-toi sur l'hypothèse, une définition ou une propriété.
Attention Une seule propriété des diagonales ne suffit pas toujours : des diagonales perpendiculaires peuvent appartenir à un cerf-volant, qui n'est pas un losange ; des diagonales de même longueur peuvent appartenir à un trapèze isocèle. Pour un losange, il faut des diagonales perpendiculaires qui se coupent en leur milieu.
L'astuce du prof
Astuce. Pour contrôler un calcul d'angles, additionne les quatre amplitudes : tu dois toujours trouver 360°. Et retiens la chaine : carré ⊂ rectangle ou losange ⊂ parallélogramme ⊂ trapèze.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Angles d'un parallélogramme
ABCD est un parallélogramme et  = 65°. Calcule B̂, Ĉ et D̂.
Voir la correction
Deux angles consécutifs sont supplémentaires : B̂ = 180° − 65° = 115°. L'angle opposé à Â a la même amplitude : Ĉ = 65°. Enfin D̂ = B̂ = 115°. Contrôle : 65 + 115 + 65 + 115 = 360.
Exercice 2 — Un angle manquant
Dans un quadrilatère, trois angles mesurent 85°, 110° et 95°. Combien mesure le quatrième ?
Voir la correction
Les trois angles connus totalisent 85 + 110 + 95 = 290°. Comme la somme vaut 360°, le dernier angle mesure 360° − 290° = 70°.