Au programme de ce chapitre
- I. Qu'est-ce qu'une puissance ?
- II. Les propriétés des puissances
- III. Les puissances de 10
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Pour un nombre a et un naturel n ≥ 2, la puissance aⁿ est le produit de n facteurs égaux à a : aⁿ = a × a × … × a (n facteurs).
a est la base, n est l'exposant. Par convention : a¹ = a et a⁰ = 1 (si a ≠ 0).
a est la base, n est l'exposant. Par convention : a¹ = a et a⁰ = 1 (si a ≠ 0).
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Un exemple corrigé
Exemple
- 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
- (−3)⁴ = 81 et (−2)³ = −8
- (23)² = 49
- 10⁴ = 10 000 et 7⁰ = 1
Lexique
- base
- nombre qui est multiplié plusieurs fois par lui-même
- exposant
- petit nombre en haut qui indique le nombre de facteurs
- carré
- puissance d'exposant 2
- cube
- puissance d'exposant 3
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — la puissance n'est pas une multiplication. 23 vaut 8, pas 6 ! L'exposant dit combien de fois on écrit la base comme facteur : 2 × 2 × 2.
Piège — pas de propriété pour la somme. 23 + 22 = 8 + 4 = 12, ce n'est pas 25 (= 32). Et x2 + x3 ne se réduit pas non plus. Les propriétés concernent seulement les produits, les quotients et les puissances de puissances.
Attention
- 2³ n'est pas 2 × 3 = 6 : c'est 2 × 2 × 2 = 8.
- −3⁴ = −81 (l'exposant ne porte que sur 3), alors que (−3)⁴ = 81.
L'astuce du prof
Astuce. Apprends par cœur les puissances de 2 et de 3 les plus courantes : 21 à 210 valent 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024 ; et 31 à 35 valent 3, 9, 27, 81, 243. Tu gagnes du temps à l'interro.
Exercices corrigés
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Exercice 1 — Calculs de puissances
Calcule a) 26 ; b) (−3)3 ; c) −24 ; d) 90.
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a) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64. b) Base négative, exposant impair : (−3) × (−3) × (−3) = −27. c) L'exposant ne porte que sur 2 : −24 = −16. d) Tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1 : 90 = 1.
Exercice 2 — Une seule puissance
Écris sous la forme d'une seule puissance, puis calcule si c'est facile : a) 45 × 42 ; b) 68 : 65 ; c) (53)2.
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Pour le produit de même base, j'ajoute les exposants : 47 (soit 16 384). Pour le quotient, je les soustrais : 63 = 216. Pour la puissance d'une puissance, je les multiplie : 56 = 15 625.